Dependent personality disorder

Dependent personality disorder (DPD), formerly known as asthenic personality disorder, is a personality disorder that is characterized by a pervasive psychological dependence on other people. This personality disorder is a long-term condition in which people depend on others to meet their emotional and physical needs, with only a minority achieving normal levels of independence.

The cause of dependent personality disorder is unknown. TA study in 2012 estimated that between 55% and 72% of the risk of the condition is inherited from one’s parents. The difference between a ‘dependent personality’ and a ‘dependent personality disorder’ is somewhat subjective, which makes diagnosis sensitive to cultural influences such as gender role expectations.

Dependent personality disorder occurs in about 0 soccer designs for t shirts.6% of the general population. The disorder is diagnosed more often in females than males; however, research suggests that this is largely due to behavioural differences in interviews and self-reporting rather than a difference in prevalence between the sexes. A 2004 twin study suggests a heritability of 0.81 for developing dependent personality disorder. Because of this, there is significant evidence that this disorder runs in families. Children and adolescents with a history of anxiety disorders and physical illnesses are more susceptible to acquiring this disorder.

The DSM-IV-TR contains a Dependent Personality Disorder diagnosis. It refers to a pervasive and excessive need to be taken care of which leads to submissive and clinging behavior and fears of separation lemon juicer manual. This begins by early adulthood and can be present in a variety of contexts.

The World Health Organization’s ICD-10 lists dependent personality disorder as Dependent personality disorder:

It is characterized by at least 4 of the following:

Associated features may include perceiving oneself as helpless, incompetent, and lacking stamina.

Includes:

It is a requirement of ICD-10 that a diagnosis of any specific personality disorder also satisfies a set of general personality disorder criteria.

Psychologist Theodore Millon identified five adult subtypes of dependent personality disorder. Any individual dependent may exhibit none or one of the following:

The following conditions commonly coexist (comorbid) with dependent personality disorder:

General:

Ouzouer-sur-Loire

Ouzouer-sur-Loire ist eine französische Gemeinde mit 2.722 Einwohnern (Stand: 1. Januar 2014) im Département Loiret in der Region Centre-Val de Loire. Die Gemeinde gehört zum Arrondissement Orléans und ist der Hauptort (chef-lieu) des Kantons Ouzouer-sur-Loire. Die Einwohner werden Oratoriens genannt.

Ouzouer-sur-Loire liegt etwa 35 Kilometer ostsüdöstlich von Orléans an der Loire. Im Norden liegt der Wald von Orléans. Umgeben wird Ouzouer-sur-Loire von den Nachbargemeinden Les Bordes im Norden und Nordwesten i love football t shirt, Montereau im Norden und Nordosten, Dampierre-en-Burly im Osten und Südosten, Lion-en-Sullias im Süden, Saint-Aignan-le-Jaillard im Südwesten, Sully-sur-Loire im Westen und Südwesten, Saint-Père-sur-Loire im Westen sowie Bonnée im Westen und Nordwesten.

Durch die Gemeinde führt die frühere Route nationale 152 (heutige D952).

Mit der britischen Gemeinde Great Ayton in North Yorkshire (England) besteht eine Partnerschaft.

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Sobolev-Raum

Ein Sobolev-Raum, auch Sobolew-Raum (nach Sergei Lwowitsch Sobolew, bei einer Transliteration und in englischer Transkription Sobolev), ist in der Mathematik ein Funktionenraum von schwach differenzierbaren Funktionen, der zugleich ein Banachraum ist. Das Konzept wurde durch die systematische Theorie der Variationsrechnung zu Anfang des 20. Jahrhunderts wesentlich vorangetrieben. Diese minimiert Funktionale über Funktionen. Heute bilden Sobolev-Räume die Grundlage der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen.

Es seien





Ω









R




n






{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}


offen und





1






p












{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }


.

Als Sobolev-Raum






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


bezeichnen wir den Raum derjenigen reellwertigen Funktionen





u







L



p




(


Ω



)




{\displaystyle u\in L^{p}(\Omega )}


, deren gemischte partielle schwache Ableitungen bis zur Ordnung





k




{\displaystyle k}


im Lebesgue-Raum






L



p




(


Ω



)




{\displaystyle L^{p}(\Omega )}


liegen.

Für






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


ist ebenfalls die Schreibweise






W



p




k




(


Ω



)




{\displaystyle W_{p}^{k}(\Omega )}


üblich.

Für Funktionen





u







W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}


definiert man die






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


-Norm durch

Dabei ist





α





{\displaystyle \alpha }


ein Multiindex





α



=


(



α




1




,






,



α




n




)




{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})}


mit






α




i










N




0






{\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {N} _{0}}


und












α





u


:=



(











α




1












x



1





α




1






















α




n












x



n





α




n









)



u





{\displaystyle \textstyle \partial ^{\alpha }u:=\left({\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\right)u}


. Weiterhin ist







|



α




|



=








i


=


1




n





α




i







{\displaystyle \textstyle |\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}}


.

Die hier angegebene Sobolev-Norm ist als Norm äquivalent zur Summe der






L



p






{\displaystyle L^{p}}


-Normen aller möglicher Kombinationen partieller Ableitungen bis zur





k




{\displaystyle k}


-ten Ordnung. Der Sobolev-Raum






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


ist bezüglich der jeweiligen Sobolev-Norm vollständig, also ein Banachraum.

Betrachten wir nun den Raum der






C









(


Ω



)




{\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}


-Funktionen, deren partielle Ableitungen bis zum Grad





k




{\displaystyle k}


in






L



p




(


Ω



)




{\displaystyle L^{p}(\Omega )}


liegen, und bezeichnen diesen Funktionenraum mit






C



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle C^{k,p}(\Omega )}


. Da verschiedene






C



k


,


p






{\displaystyle C^{k,p}}


-Funktionen nie zueinander






L



p






{\displaystyle L^{p}}


-äquivalent (siehe auch Lp-Raum) sind, kann man






C



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle C^{k,p}(\Omega )}


in






L



p




(


Ω



)




{\displaystyle L^{p}(\Omega )}


einbetten, und es gilt folgende Inklusion

Der Raum






C



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle C^{k,p}(\Omega )}


ist bzgl. der






W



k


,


p






{\displaystyle W^{k,p}}


-Norm nicht vollständig. Vielmehr ist dessen Vervollständigung gerade






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


. Die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k können als stetige Operatoren auf diesen Sobolev-Raum eindeutig stetig fortgesetzt werden. Diese Fortsetzungen sind gerade die schwachen Ableitungen.

Somit erhält man eine alternative Definition von Sobolevräumen. Nach dem Satz von Meyers-Serrin ist sie äquivalent zur obigen Definition.

Wie bereits erwähnt, ist






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


mit der Norm






















W



k


,


p




(


Ω



)






{\displaystyle \|{\cdot }\|_{W^{k,p}(\Omega )}}


ein vollständiger Vektorraum, somit also ein Banachraum. Für





1


<


p


<








{\displaystyle 1<p<\infty }


ist er sogar reflexiv.

Für





p


=


2




{\displaystyle p=2}


wird die Norm durch das Skalarprodukt

induziert.






W



k


,


2




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,2}(\Omega )}


ist daher ein Hilbertraum, und man schreibt auch






H



k




(


Ω



)


:=



W



k


,


2




(


Ω



)




{\displaystyle H^{k}(\Omega ):=W^{k,2}(\Omega )}


.

Die schwache Ableitung beziehungsweise die Sobolev-Räume wurden zum Lösen partieller Differentialgleichungen entwickelt. Jedoch gibt es beim Lösen von Randwertproblemen noch eine Schwierigkeit. Die schwach differenzierbaren Funktionen sind ebenso wie die






L



p






{\displaystyle L^{p}}


-Funktionen auf Nullmengen nicht definiert. Der Ausdruck





f




|








Ω





=


g




{\displaystyle f|_{\partial \Omega }=g}


für





f







W



q


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle f\in W^{q,p}(\Omega )}


und





g






C


(






Ω



)




{\displaystyle g\in C(\partial \Omega )}


ergibt also erst einmal keinen Sinn. Für dieses Problem wurde die Restriktionsabbildung





f






f




|








Ω







{\displaystyle f\mapsto f|_{\partial \Omega }}


zum Spuroperator verallgemeinert.

Sei





Ω









R




n






{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}


ein beschränktes Gebiet mit






C



m






{\displaystyle C^{m}}


-Rand,





m







N





{\displaystyle m\in \mathbb {N} }


. Dann existiert ein beschränkter, linearer Operator

sodass

und

gilt. Dabei ist

Die Konstante





C




{\displaystyle C}


hängt nur von





p




{\displaystyle p}


,





Ω





{\displaystyle \Omega }


,





m




{\displaystyle m}


und





q




{\displaystyle q}


ab. Der Operator





T




{\displaystyle T}


heißt Spuroperator. Eine ähnliche Aussage lässt sich auch für Lipschitz-Gebiete beweisen:

Sei





Ω









R




n






{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}


ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, also mit






C



0


,


1






{\displaystyle C^{0,1}}


-Rand. Dann existiert ein beschränkter, linearer Operator

sodass

und

gilt. Dabei ist

Die Konstante





C




{\displaystyle C}


hängt nur von





p




{\displaystyle p}


,





Ω





{\displaystyle \Omega }


und





q




{\displaystyle q}


ab.

Mit






W



0




k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega )}


bezeichnet man den Abschluss des Testfunktionenraums






C



c










(


Ω



)




{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}


in






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


. Das bedeutet





u







W



0




k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle u\in W_{0}^{k,p}(\Omega )}


gilt genau dann, wenn es eine Folge





(



u



m





)



m







N










C



c










(


Ω



)




{\displaystyle (u_{m})_{m\in \mathbb {N} }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega )}


gibt mit






u



m








u




{\displaystyle u_{m}\to u}


in






W



k


,


p




(


Ω



)


.




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega ).}


Für





k


=


1




{\displaystyle k=1}


kann man beweisen, dass diese Menge genau die Sobolev-Funktionen mit Nullrandbedingungen sind. Hat also





Ω





{\displaystyle \Omega }


einen Lipschitz-Rand , dann gilt





u







W



0




1


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}


genau dann, wenn





u




|








Ω





=


0




{\displaystyle u|_{\partial \Omega }=0}


im Sinne von Spuren gilt.

Jedem Sobolev-Raum






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


mit





Ω









R




n






{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}


ordnet man eine Zahl zu, die wichtig im Zusammenhang mit Einbettungssätzen ist. Man setzt

und nennt diese Zahl





γ





{\displaystyle \gamma }


die Sobolev-Zahl.

Es gibt mehrere miteinander in Beziehung stehende Aussagen, die man mit Einbettungssatz von Sobolev, sobolevscher Einbettungssatz oder mit Lemma von Sobolev bezeichnet. Sei





Ω





{\displaystyle \Omega }


eine offene und beschränkte Teilmenge von







R




n






{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}


,





1






p


<








{\displaystyle 1\leq p<\infty }


,





k








N




0






{\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}


und





γ





{\displaystyle \gamma }


die Sobolev-Zahl zu






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


. Für





γ



>


m




{\displaystyle \gamma >m}







C



m




(


Ω



)




{\displaystyle C^{m}(\Omega )}


beziehungsweise





C


(


Ω



)




{\displaystyle C(\Omega )}


mit der Supremumsnorm ausgestattet sind. Mit anderen Worten hat jede Äquivalenzklasse





f







W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle f\in W^{k,p}(\Omega )}


einen Vertreter in






C



m




(


Ω



)




{\displaystyle C^{m}(\Omega )}


. Gilt hingegen





γ







0




{\displaystyle \gamma \leq 0}


, so kann man






W



k


,


p




(


Ω



)




{\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}


zumindest stetig in den Raum






L



q




(


Ω



)




{\displaystyle L^{q}(\Omega )}


für alle





1






q


<






n


p




n






k


p








{\displaystyle 1\leq q<{\tfrac {np}{n-kp}}}


einbetten, wobei









n


p



0





:=








{\displaystyle {\tfrac {np}{0}}:=\infty }


gesetzt wird.

Aus dem sobolevschen Einbettungssatz lässt sich folgern, dass es für





(


k






m


)


p






n




{\displaystyle (k-m)p\leq n}


eine stetige Einbettung

für alle





1






q










n


p




n






(


k






m


)


p








{\displaystyle 1\leq q\leq {\tfrac {np}{n-(k-m)p}}}


gibt.

Sei





Ω









R




n






{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}


offen und beschränkt und





1






p


<








{\displaystyle 1\leq p<\infty }


. Dann ist die Einbettung

ein linearer kompakter Operator. Dabei bezeichnet





Id




{\displaystyle \operatorname {Id} }


die identische Abbildung.

Sei





d






1




{\displaystyle d\geqslant 1}


fortan eine fest vorgegebene Raumdimension, dann ist die Einbettung






W



1


,


p




(




R




d




)







L



q




(




R




d




)




{\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{d})\subseteq L^{q}(\mathbb {R} ^{d})}


 

 

 (1)

 

stetig, sofern die Bedingungen

erfüllt sind, d. h., es gibt eine Konstante





C


=


C


(


d


,


p


,


q


)


>


0




{\displaystyle C=C(d,p,q)>0}











u








L



q




(




R




d




)








C







u








W



1


,


p




(




R




d




)










u







W



1


,


p




(




R




d




)


.




{\displaystyle \left\|u\right\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{d})}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{d})}\quad \forall \,u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{d}).}


 

 

 (2)

 

Dieses Resultat folgt aus der Hardy-Littlewood-Sobolev Ungleichung für gebrochene Integrationen. Hierbei sind die Endpunktfälle





(


p


,


q


)







{



(


d


,






)



,



(


1


,




d



d






1





)



}





{\displaystyle (p,q)\in \left\{\left(d,\infty \right),\left(1,{\frac {d}{d-1}}\right)\right\}}


gesondert zu untersuchen.

Im ersten Endpunktfall





(


p


,


q


)


=



(


1


,




d



d






1





)





{\displaystyle (p,q)=\left(1,{\frac {d}{d-1}}\right)}


ist die Einbettung






W



1


,


1




(




R




d




)







L




d



d






1






(




R




d




)




{\displaystyle W^{1,1}(\mathbb {R} ^{d})\subseteq L^{\frac {d}{d-1}}(\mathbb {R} ^{d})}


 

 

 (3)

 

ebenfalls stetig, wobei wir







1


0




:=








{\displaystyle {\frac {1}{0}}:=\infty }


im Fall





d


=


1




{\displaystyle d=1}


setzen. Daher gibt erneut eine Konstante





C


=


C


(


d


)


>


0




{\displaystyle C=C(d)>0}











u








L




d



d






1






(




R




d




)








C







u








W



1


,


1




(




R




d




)










u







W



1


,


1




(




R




d




)


.




{\displaystyle \left\|u\right\|_{L^{\frac {d}{d-1}}(\mathbb {R} ^{d})}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{1,1}(\mathbb {R} ^{d})}\quad \forall \,u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{d}).}


 

 

 (4)

 

Dieses Resultat folgt aus der Loomis-Whitney Ungleichung, die auf Gagliardo und Nirenberg zurückgeht.

Im zweiten Endpunktfall





(


p


,


q


)


=


(


d


,






)




{\displaystyle (p,q)=(d,\infty )}


ist die Einbettung






W



1


,


d




(




R




d




)







L









(




R




d




)




{\displaystyle W^{1,d}(\mathbb {R} ^{d})\subseteq L^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}


 

 

 (5)

 

nur für





d


=


1




{\displaystyle d=1}


erfüllt und stetig. Dies folgt beispielsweise aus dem Fundamentalsatz der Analysis. Für





d






2




{\displaystyle d\geqslant 2}


ist die Einbettung (5) grundsätzlich falsch und somit nicht erfüllt. Als Gegenbeispiel hierfür betrachte man die Funktion





f


(


x


)


=








n


=


1




N




ϕ




(



2



n




x


)





{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{N}\phi \left(2^{n}x\right)}


für





N







N





{\displaystyle N\in \mathbb {N} }


,





ϕ








C



0










(




R




d




)




{\displaystyle \phi \in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d})}


und






s


u


p


p




ϕ







{


x








R




d








1







|



x



|







2


}




{\displaystyle \mathrm {supp} \,\phi \subseteq \{x\in \mathbb {R} ^{d}\mid 1\leqslant |x|\leqslant 2\}}


. Insgesamt gibt es daher in Bezug auf (5) nur für





d


=


1




{\displaystyle d=1}


eine Konstante





C


>


0




{\displaystyle C>0}











u








L









(



R



)








C







u








W



1


,


1




(



R



)










u







W



1


,


1




(



R



)


.




{\displaystyle \left\|u\right\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} )}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{1,1}(\mathbb {R} )}\quad \forall \,u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ).}


 

 

 (6)

 

Die Einbettungen (3) und (5) werden Sobolevsche-Endpunkt-Einbettungen und die Abschätzungen (4) und (6) Sobolevsche-Endpunkt-Ungleichungen genannt.

Allgemeiner erhalten wir sogar, dass die Einbettung






W



k


,


p




(




R




d




)







W



l


,


q




(




R




d




)




{\displaystyle W^{k,p}(\mathbb {R} ^{d})\subseteq W^{l,q}(\mathbb {R} ^{d})}


 

 

 (7)

 

stetig ist, sofern einer der folgenden Fälle erfüllt ist

d. h., es gibt wieder eine Konstante





C


=


C


(


d


,


p


,


q


,


k


,


l


)


>


0




{\displaystyle C=C(d,p,q,k,l)>0}











u








W



l


,


q




(




R




d




)








C







u








W



k


,


p




(




R




d




)










u







W



k


,


p




(




R




d




)


.




{\displaystyle \left\|u\right\|_{W^{l,q}(\mathbb {R} ^{d})}\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{k,p}(\mathbb {R} ^{d})}\quad \forall \,u\in W^{k,p}(\mathbb {R} ^{d}).}


 

 

 (8)





q


<


p




{\displaystyle q<p}


grundsätzlich nicht erfüllt ist. Die Bedingungen (i) und (ii) zeigen sehr schön, inwiefern die zugehörigen Sobolev-Zahlen







d


p








k




{\displaystyle {\frac {d}{p}}-k}


und







d


q








l




{\displaystyle {\frac {d}{q}}-l}


miteinander in Beziehung stehen. Man beachte, dass diese Version des Sobolevschen Einbettungssatzes im Vergleich zu der obigen Version ohne die zusätzliche und sehr einschränkende Bedingung





(


k






l


)


p






d




{\displaystyle (k-l)p\leqslant d}


auskommt. Die Beweise dieser Aussagen können in (Thm. 3, Ex. 20, Lem. 4, Ex. 24 und Ex. 25) nachgelesen werden und lassen sich aus den Standardquellen (unter diesen schwachen Voraussetzungen) leider nicht direkt gewinnen.

Darüber hinaus gilt das folgende Einbettungsresultat:

Die Einbettung






W



d


,


1




(




R




d




)







C




b





(




R




d




)




{\displaystyle W^{d,1}(\mathbb {R} ^{d})\subseteq C_{\mathrm {b} }(\mathbb {R} ^{d})}


 

 

 (9)

 

ist für alle





d






1




{\displaystyle d\geqslant 1}


stetig, d. h., es gibt eine Konstante





C


=


C


(


d


)


>


0




{\displaystyle C=C(d)>0}











u

















C







u








W



d


,


1




(




R




d




)










u







W



d


,


1




(




R




d




)


.




{\displaystyle \left\|u\right\|_{\infty }\leqslant C\left\|u\right\|_{W^{d,1}(\mathbb {R} ^{d})}\quad \forall \,u\in W^{d,1}(\mathbb {R} ^{d}).}


 

 

 (10)

 

Hierbei bezeichnet






C




b





(




R




d




)




{\displaystyle C_{\mathrm {b} }(\mathbb {R} ^{d})}


die Menge der auf dem







R




d






{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}


stetigen und beschränkten Funktionen und



























{\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\infty }}


die Supremumsnorm auf dem







R




d






{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}


.

Oft werden auch Sobolev-Räume mit reellen Exponenten



s




{\displaystyle s}


benutzt. Diese sind im Ganzraumfall über die Fourier-Transformierte der beteiligten Funktion definiert. Die Fourier-Transformation wird hier mit







F






{\displaystyle {\mathcal {F}}}


bezeichnet. Für





s







R



,


s






0




{\displaystyle s\in \mathbb {R} ,s\geq 0}


ist eine Funktion





f







L



2




(




R




n




)




{\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}


ein Element von






H



s




(




R




n




)




{\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}


, falls

gilt. Auf Grund der Identität







F




(








α





f


)


=


(


i


ζ




)



α







F




(


f


)




{\displaystyle {\mathcal {F}}(\partial ^{\alpha }f)=(i\zeta )^{\alpha }{\mathcal {F}}(f)}


sind dies für





s







N





{\displaystyle s\in \mathbb {N} }


dieselben Räume, welche schon im ersten Abschnitt definiert wurden. Mit

wird






H



s




(




R




n




)




{\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}


zu einem Hilbertraum. Die Norm ist gegeben durch

Für ein glatt berandetes, beschränktes Gebiet





Ω









R




n






{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}


wird der Raum






H



s




(


Ω



)







L



2




(


Ω



)




{\displaystyle H^{s}(\Omega )\subset L^{2}(\Omega )}


definiert als die Menge aller





f







L



2




(


Ω



)




{\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}


, die sich zu einer (auf







R




n






{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}


definierten) Funktion in






H



s




(




R




n




)




{\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}


fortsetzen lassen.

Für





s


<


0




{\displaystyle s<0}


kann man ebenfalls Sobolev-Räume definieren. Dazu muss jedoch auf die Theorie der Distributionen zurückgegriffen werden. Sei








S








(




R




n




)




{\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}







H



s




(




R




n




)




{\displaystyle H^{s}(\mathbb {R} ^{n})}


für alle





s







R





{\displaystyle s\in \mathbb {R} }


durch

definiert.

Betrachtet man den Banachraum






H



s






{\displaystyle H^{s}}


mit dem






L



2






{\displaystyle L^{2}}


-Skalarprodukt






(


u


,


v


)


:=






u


(


x


)





v


(


x


)



¯






d



x





{\displaystyle \textstyle (u,v):=\int u(x){\overline {v(x)}}\mathrm {d} x}


, so ist






H







s






{\displaystyle H^{-s}}


sein Dualraum. Jedoch kann man den Raum






H



s






{\displaystyle H^{s}}


mit Hilfe des Skalarproduktes

als einen Hilbertraum verstehen. Da Hilberträume zu sich selbst dual sind, ist nun






H



s






{\displaystyle H^{s}}


zu






H



s






{\displaystyle H^{s}}


und zu






H







s






{\displaystyle H^{-s}}


(bezüglich unterschiedlicher Produkte) dual. Man kann






H



s






{\displaystyle H^{s}}


und






H







s






{\displaystyle H^{-s}}


mit Hilfe des isometrischen Isomorphismus

identifizieren. Auf analoge Weise lassen sich auch die Räume






H



s






{\displaystyle H^{s}}


und






H



s






l






{\displaystyle H^{s-l}}


durch den isometrischen Isomorphismus

miteinander identifizieren.

Sobolev-Räume werden in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen verwendet. Die Lösungen der schwachen Formulierung einer partiellen Differentialgleichung liegen typischerweise in einem Sobolev-Raum.

Die Theorie der partiellen Differentialgleichungen liefert damit auch numerische Lösungsverfahren. Die Finite-Elemente-Methode basiert auf der schwachen Formulierung der partiellen Differentialgleichungen und somit auf Sobolev-Raum-Theorie.

Sobolev-Räume spielen auch in der optimalen Steuerung partieller Differentialgleichungen eine Rolle.

Rivva

Rivva ist ein deutscher Online-Aggregator, der seit 2007 als zentraler Zugang zu deutschen Blogs gilt soccer designs for t shirts.

Der von dem Entwickler Frank Westphal programmierte Online-Dienst stellt seit 2007 einen Überblick über deutschsprachige Blogs und Online-Medien mehrmals täglich aktualisiert ins Netz. Auf der Basis einer Suchmaschine wertet der Aggregationsdienst aktuelle Debatten aus und stellt Verbindungen zwischen verschiedenen Beiträgen her. Die Seite filtert die sozialen Netzwerke nach Beiträgen, die besonders stark diskutiert und weiterempfohlen werden. Die Übersichtsseite mit „Top-Nachrichten“ wird automatisch erzeugt. Dabei wird auch ein Überblick über Reaktionen auf einzelne Artikel gegeben.

Der Name rivva (von englisch river) ist eine Anspielung auf das Bonmot “News is a river” von Doc Searls.

Im Februar 2011 wurde der Betrieb eingestellt best place to buy goalkeeper gloves. Zu den Gründen des Schritts machte der Entwickler keinerlei Angaben. Zuvor waren Versuche, den Aggregator mit „Sponsored Posts“ zu finanzieren, nicht erfolgreich verlaufen. Auf Initiative von Vasco Sommer-Nunes, Gründer des Blogvermarkters mokono, wurde ein Konzept zur Vermarktung und Finanzierung von Rivva mit der Unterstützung von BMW i, einer Submarke von BMW entwickelt . Im Juni 2011 wurde das Projekt weitergeführt water bottle belt pouch. Für das Jahr 2012 plante Westphal eine Neuprogrammierung von Rivva. So war etwa ein neues Ranking geplant. Seit 2013 ist sueddeutsche.de Partner von Rivva. Wegen der Rechtsunsicherheit durch das neue Leistungsschutzrecht für Presseverleger schloss Rivva im Juli 2013 über 650 Online-Medien aus.

Als Ranking-Faktor berücksichtigt Rivva neben Hyperlinks auch Empfehlungen in sozialen Netzwerken und stellt anhand dessen aktuelle deutschsprachige Blogartikel in der Rangfolge ihrer Wichtigkeit dar: Die Artikel, die innerhalb einer Zeiteinheit die meisten Kommentare und Links erhalten, stehen zuoberst. Als Memtracker greift Rivva aber auch auf Textanalyse zurück, um thematisch zusammenhängende Blog-Artikel auch ohne direkte Verlinkung einander zuzuordnen und in einer gemeinsamen Übersicht darzustellen.

Aus Gründen der Qualitätssicherung bezieht Rivva nur Links von einer definierten Liste von Blogs in die Berechnung seiner Themenrangfolgen ein. Diese Liste wird durch das Programm selbstlernend erweitert electric shaver mens, indem häufig von bereits gelisteten Blogs verlinkte Blogs aufgenommen werden. So wuchs die Liste von sieben “Seed-Blogs” 2007 auf über 2500 bereits im Jahr 2008 an. Im August 2010 wurden 4500 deutschsprachige und 1050 größtenteils englischsprachige Blogs sowie 54.000 Twitter-Accounts erfasst.